a escala pitagórica

A escala pitagórica, devida ao grego Pitágoras (séc. V e VI AC), é a base da nossa escala diatónica e esteve na origem da maioria dos sistemas de escalas que surgiram depois. Pitágoras foi um filósofo grego (n. c. 570) a quem se deve grande parte do impulso inicial que levou ao grande desenvolvimento da matemática na Grécia antiga. Considerava o número como o fundamento das coisas. Para Pitágoras, o número 3 representava a divindade e o intervalo 3/2 a perfeição musical. O seu sistema musical foi todo construído com base neste intervalo e no chamado «ciclo de quintas».

Foi a escala mais usada na Europa nos séculos XIII e XIV e ainda estava em uso no século XVI. Era construída com base numa série de quintas perfeitas, que garantia também quartas perfeitas. Todos os valores dos inteiros cujas razões definiam os seus intervalos eram potências de 3 ou 2, já que todos eles são derivados de quintas (3/2) ou oitavas (2/1). Como o maior número primo presente é 3, diz-se que é um sistema de afinação natural «de limite 3». Os intervalos podem ser obtidos combinando oitavas (2/1) e quintas (3/2): um tom corresponde a 2 quintas - 1 oitava [(32)/(23) = 9/8]; uma 3ª maior, a 4 quintas - 2 oitavas, 81/64; um semitom (diatónico) a 3 oitavas - 5 quintas, 256/243.

O ciclo de quintas define os intervalos seguintes, que não cabem numa oitava (obtemos um B# que não é C'=1200 cents).

                  
            o ciclo de quintas

              razão                cents
                  ..................
            8192/6561      (Fb)    384,36
            4096/2187      (Cb)   1086,315
            1024/729       (Gb)    588,27
             256/243       (Db)     90,225
             128/81        (Ab)    792,18
              32/27        (Eb)    294,135
              16/9         (Bb)    996
               4/3         (F)     498
               1/1         (C)       0 
               3/2         (G)     701,9
               9/8         (D)     203,9
              27/16        (A)     905,9
              81/64        (E)     407,8
             243/128       (B)    1109,8
             729/512       (F#)    611,7
            2187/2048      (C#)    113,68
            6561/4096      (G#)    815,64
           19683/16384     (D#)    317,595
           59049/32768     (A#)    905,9
          177147/131072    (E#)    521,505
          531441/262144    (B#)   1223,46

Na escala pitagórica, o ajuste do ciclo de quintas, para fazer com que os intervalos caibam numa oitava, é feito usando um ciclo de 11 quintas perfeitas: Eb Bb F C G D A E B F# C# G#. De G# para D#, ou de Ab para Eb, teríamos uma 5ª perfeita. Mas a 12ª quinta que se usa é G#-Eb, que «absorve» toda a coma ditónica e fica dissonante, «uivando» como um lobo (o desvio em relação ao intervalo perfeito é a coma ditónica (ou pitagórica) de -23,46 cents, isto é, ela tem 678,485 em vez de 701,9 cents).

Ouça um ficheiro midi com o ciclo de quintas: ( C G D A E B F# C# G# Eb Bb F). Note o lobo de G# para Eb!

    
  Fb-Cb-Gb-Db-Ab-Eb-Bb-F-C-G-D-A-E-B-F#-C#-G#-D#-A#-E#-B#
                  \                        /
                   \                      /
                    ---------(-23,46)----

A escala cromática pitagórica resultante é a seguinte:

Altura:

C

C#

D

Eb

E

F

F#

G

G#

A

Bb

B

C

Razões:

1/1

2187/2048

9/8

32/27

81/64

4/3

729/512

3/2

6561/4096

27/16

16/9

243/128

2/1

cent:

0

113,68

203,9

294,1

407,8

498

611,7

701,9

815,64

905,9

996,1

1109,8

1200

1/2-tom

113,68

90,2

90,2

113,68

90,2

113,68

90,2

113,68

90,2

90,2

113,68

90,2

 

A escala de dó maior tinha as 7 notas que tem a escala que usamos hoje com 5 tons de 9/8 (113,68+90,22=203,91 cents) e 2 semitons (E-F e B-C) de 256/243 (90,225 cents).

mi

sol

si

1/1

(3/2)2*1/2

(3/2)4*1/22

4/3

3/2

(3/2)3*1/2

(3/2)5*1/22

2/1

1/1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2/1

Ouça a escala pitagórica (ficheiro midi). Um tom era definido como a diferença entre uma quinta e uma quarta perfeitas (3/2 : 4/3 = 9/8 =1,125 ou 203,91 cents), ou seja, como uma 2ª maior natural. Cada tom de 9/8 é dividido em dois meios tons diferentes: um de 2187/2048 (113,68 cents) e outro de 256/243 (90,225 cents). Note que 256/243*2187/2048=9/8.

Obtém-se uma nota sustenida multiplicando o valor da nota por 2187/2048 (ou somando 113,68 cents) e uma nota bemol dividindo pelo mesmo valor (ou subtraindo 113,68 cents). As notas enarmónicas distam de um coma ditónico.

    
  C-------------Db-----C#--------------D
                <-23,46->          
  <-------113,68--------><----90,22---->
  <----90,22----><-------113,68-------->
  <---------------203,9---------------->

Ouça as notas C - Db - C# - D (ficheiro midi).(pitch bend: C 64:00; C# - 60:111; C# - 68:48; D - 65:32) Na figura seguinte, visualiza-se melhor a relação das notas que se obtêm com as da escala de temperamento igual em uso actualmente no ocidente (em que todos os meios tons são de 100 cents).

Era uma escala apropriada para música da época em que não se usavam modulações e que era escrita usando os modos antigos que precederam as escala maior e menor. Os graus da gama diatónica são justos para a dominante e a sub-dominante em dó maior (sól e fá ), mas os outros graus não são justos. Não resulta mal para a tonalidade de dó maior mas, para notas estranhas a essa tonalidade, ocorre sempre algum desvio. Os intervalos correspondentes às escalas maiores (e menores) eram bastante diferentes para alguns tons menos usados, como C#, F# e G#.

intervalos da escala de dó M - (203,91) (203,91) (90,2) (203,91)(203,91)(203,91) (90,2)
intervalos da escala de mi M - (203,91) (203,91) (90,2) (203,91)(203,91)(180,45) (113,68) ----- 2*90,2=>(180,45)
intervalos da escala de si M - (203,91) (180,45) (113,68) (203,91)(203,91)(180,45) (113,68)

O sistema pitagórico é uma forma de entoação justa, no sentido em que todos os intervalos são descriptíveis por relações numéricas simples. Mas a 3ª pitagórica (por exemplo C-E), que corresponde à adição de dois tons de 9/8, ou seja um intervalo de 81/64 (407, 82 cents), tem um som pouco agradável e «demasiado sustenido». Para os gregos, as consonâncias limitavam-se às oitavas, quintas e quartas; as terceiras e sextas não eram consideradas como consonantes. Por isso, as terceiras não se usavam nas cadências finais e eram usadas para preparar e «pedir» a resolução nas quintas perfeitas (D-F# => C-G). Como uma 3ª maior se combina com uma 3ª menor para dar uma quinta, a 3ª menor era demasiado curta (294 em vez de 316 cents). As 6ªs maiores também eram «demasiado sustenidas», com 905,9 em vez dos 884,36 cents ideais.

O intervalo de 5/4 (386 cents - a 3ª maior justa) tem um efeito muito mais suave e exerceu uma sedução considerável sobre os cantores desde a Idade Média que provavelmente o utilizaram, mesmo sem terem a consciência disso. Ouça a 3ª pitagórica de 81/64 seguida da 3ª (justa) de 5/4 (ficheiro midi). Note que a 3ª pitagórica tem um batimento a que já estamos habituados porque é muito parecido com o da 3ª da escala de temperamento igual. Mas 5/4 era um intervalo proibido no sistema pitagórico que exclui todos os factores primos superiores a 3. A diferença entre os dois intervalos é o intervalo 81/80(=81/64:5/4=81/64:80/64), que é ligeiramente mais pequeno que o coma pitagórico e a que se chama o coma sintónico (ou ptolomaico). Mas estas terceiras e sextas mais amplas eram mais «activas» e tinham um grande poder expressivo.

A história dos sistemas de afinação (temperamento) roda em volta de dois objectivos: beleza (intervalos o mais perto dos naturais que for possível) e utilidade (o máximo número de intervalos utilizáveis numa oitava). Na afinação pitagórica, a beleza é atingida com as suas quintas (3/2) e quartas (4/3) perfeitas, os intervalos de 2ª maior(9/8) e 7ª menor naturais(16/9). Mas também com as terceiras e sextas mais «activas» e com os meios tons diatónicos pequenos que estão em concordância com as qualidades estilísticas de cor harmónica e acção cadenciada eficiente preferidas na época em que foi mais usada. A utilidade também porque existem 11 quintas 3 quartas perfeitas e apenas existe a quinta «do lobo» em G#-Eb, duas notas que raramente ocorrem e, por isso, não diminuem de facto a sua utilidade. Podia até adicionar-se uma tecla extra - Ab - uma coma pitagórica abaixo de G# de modo a ter a 12ª quinta perfeita Ab-Eb.