| O atractor de Lorenz é gerado por 3 equações diferenciais não-lineares acopladas: |
dx/dt = s ( y - x ) |
| Como esta equação tem termos não-lineares ( xy e xz ), não existe uma solução analítica e usamos, por isso, uma simulação numérica para derivar a solução. |
| No écran vemos a representação do comportamento dinâmico do sistema no espaço de fase, a 3 dimensões, a partir do ponto inicial indicado, e para r=28, s= 10 e b= 8/3. Acontece que os trajectos a partir de quase todos os pontos iniciais possíveis acabam por «cair» no mesmo conjunto. É por isso que a esse conjunto se chama um Atractor. Se clicar seguidamente no écran onde diz Novo Ponto Inicial, verá a evolução a partir de vários pontos diferentes. |
| No
entanto, por causa dos seus termos não-lineares, uma
pequena variação na localização do ponto inicial
afecta enormemente o trajecto obtido - uma característica
do comportamento matemático a que se chama «caos» - um comportamento imprevisível que
resulta de um sistema determinístico por causa de uma
grande sensibilidade às condições iniciais. Num
sistema dinâmico, o caos surge quando dois pontos
iniciais arbitrariamente perto um do outro divergem
exponencialmente, de tal modo que o seu comportamento
futuro é eventualmente imprevisível. Se clicar no écran onde diz CAOS, verá simultaneamente duas trajectórias de evolução (uma a azul e outra a amarelo) a partir de dois pontos que diferem um do outro em apenas 0,00001 na coordenada x ( à coordenada x do ponto inicial soma-se 0,00001 para obter o segundo ponto). Inicialmente as duas trajectórias parecem coincidentes mas, a partir de certa altura, a divergência é óbvia! (No final, para voltar ao funcionamento normal, volte a clicar em CAOS.) É a este fenómeno que se chama «o efeito borboleta» : |
| o efeito borboleta |
| As equações de Lorenz foram introduzidas, em 1963, como um modelo simples do movimento convectivo nas camadas superiores da atmosfera. Lorenz descobriu que, para certos valores dos parâmetros ró, beta e sigma, o sistema nunca tende para um comportamento previsível a longo prazo e que, por essa razão, não é possível também fazer previsões do tempo meteorológico a longo prazo. Trata-se de um sistema caótico e a mais ínfima variação nas condições iniciais pode produzir comportamentos a longo prazo muito diferentes. Por isso se pode dizer, por exemplo, que o bater de asas de uma borboleta no Porto pode acabar por influenciar o aparecimento de um tufão em Macau. |
| um atractor estranho |
| O comportamento do modelo de Lorenz é representado traçando as suas variáveis no espaço de fase - ou seja, para cada cálculo sucessivo de x, y, e z, traçamos o ponto correspondente num espaço de eixos xyz. No canto direito, está representado o sistema referencial usado ( o eixo dos x´s aparece a vermelho, o dos y´s a amarelo e o dos z´s a branco). |
| Num sistema linear, obteríamos tipicamente trajectórias que convergiriam para ponto fixo estável ou para um ciclo limite correspondendo a uma variação periódica. |
| Lorenz descobriu que, para certos valores dos parâmetros r, b e s, as trajectórias deste sistema nunca acabam num ponto fixo nem num ciclo limite estável e, contudo, nunca divergem para o infinito. Algo muito fora do que anteriormente se considerava usual. É por isso que ao atractor gerado por estas equações se chama um atractor estranho. |
| Para valores mais pequenos de r, o comportamento do sistema é estável e tende para um de dois pontos fixos. Isto pode ser observado clicando no écran onde é indicado o valor de r (o programa vai desenhando o resultado obtido usando vários valores de r determinados aleatoriamente, entre 9 e 29). |
| O sistema tem também um outro ponto fixo na origem (x=0, y=0, z=0). De facto, o sistema não se move a partir desse ponto. Mas basta que uma das coordenadas seja ligeiramente diferente de 0 para que o sistema evolua para um dos outros pontos fixos. Ou seja, a origem é aquilo a que se chama um repulsor. |
| Se o parâmetro r é maior do que 24,74 , o comportamento do sistema muda radicalmente e os pontos fixos perdem a sua estabilidade. Deixam de ser atractores para serem repulsores mas a trajectória nunca se pode afastar muito da zona mostrada no écran. A trajectória vai de um lado para o outro sendo repelida pelos 3 pontos fixos de modo que acaba por se dobrar sobre si mesma de um modo muito complexo e sem nunca se cortar a si mesma. É ao conjunto de pontos em que a trajectória se encontra que se chama o atractor que neste caso recebe o nome de atractor estranho. |
| Como é típico dos atractores caóticos, o atractor do Lorenz exibe «auto-semelhança» e é um «objecto fractal». (Se introduzíssemos no programa a possibilidade de seleccionarmos uma zona limitada do atractor e irmos fazendo «zooms» sucessivos, vizualizando pormenores com uma resolução cada vez maior, veríamos que o aspecto da curva seria sempre semelhante.) Embora muitas fractais não sejam caóticas (como o triângulo de Serpinsky ou a curva de Koch) muitos fenómenos caóticos exibem estruturas fractais nos seus atractores estranhos ou nas sucessivas bifurcações de transição para o caos - como na equação logística. |
| O atractor de Rossler |
| Se clicar onde diz ROSS, verá um outro atractor estranho: o atractor de Rossler que é gerado pelas seguintes 3 equações diferenciais não-lineares acopladas: |
dx/dt = - y - z |
| Para voltar ao atractor de Lorenz, volte a clicar em ROSS. |
| a regularidade no caos |
| O caos é um
comportamento imprevisível que está algures na
fronteira entre a ordem e a desordem - porque exibe
alguma regularidade. Embora exista imprevisibilidade no tempo meteorológico, podendo existir dias quentes no Inverno e dias frios no Verão, não deixa de existir uma certa regularidade na sequência das estações do ano. Quando, numa estação de comboios, é anunciado que um comboio que estava previsto partir de uma linha afinal vai partir de outra, não podemos prever exactamente que consequência esse anúncio vai ter no movimento dos passageiros na estação. Mas, ainda assim, é previsível que haja um movimento global de passageiros de uma linha para a outra. Do mesmo modo, embora um coração saudável se contraia a um ritmo caótico, o seu batimento médio, considerado globalmente num período de um minuto, não deixa de exibir uma certa regularidade. Nota: É o facto das contracções cardíacas serem caóticas que assegura uma irrigação eficiente do coração; e é a regularidade do funcionamento dos pacemakers que provoca, a longo prazo, deficiências de irrigação interna. É também o funcionamento caótico que permite que o ritmo cardíaco possa mudar com grande rapidez; e é quando o ritmo cardíaco de uma pessoa idosa ou demasiado sedentária começa a tornar-se excessivamente regular que surgem tonturas quando ela se põe em pé de repente porque a aceleração do ritmo cardíaco é demasiado lenta. |
